Estatística básica – Aula 5: Propriedades da Média

Propriedade 1: Se o todos os elementos do conjunto de dados em análise é uma constante c, então a média deste conjunto é a própria constante c.

Demonstração:

$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}$

$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} c}{n}$

$\bar{X} = \frac{ \overbrace{c + c + … + c}^{n\ vezes} }{n}$

$\bar{X} = \frac{nc}{n}$

$\bar{X} = c$

Propriedade 2: Sejam $Y_i = X_i \pm c$, para $i = 1,2,…,n$. A média de $Y$ é dada por $\bar{X} + c$

Demonstração:

$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} Y_{i}}{n}$

$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i} + c}{n}$

$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n} + \frac{\sum_{i=1}^{n} c}{n}$

$\bar{Y} = \bar{X} + c$

Propriedade 3: Sejam $Y_{i} = X_{i}c$, para $i = 1,2,…,n$. A média de $Y$ é dada por: $\bar{Y} = \bar{X}c$

Demonstração:

$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} Y_{i}}{n}$

$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}c}{n}$

$\bar{Y} = \frac{c\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}$

$\bar{Y} = \bar{X}c$

Propriedade 4: Sejam a e b duas constantes arbitrárias e $Y_{i} = a \pm bX_{i}$, para $i = 1,2,…,n$. Pelas propriedades $1, 2$ e $3$, temos:

$\bar{Y} = a + b\bar{X}$

Demonstração:

$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} Y_{i}}{n}$

$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} a \pm bX_{i}}{n}$

$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} a}{n} \pm \frac{\sum_{i=1}^{n} bX_{i}}{n}$

$\bar{Y} = a \pm \frac{b\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}$

$\bar{Y} = a \pm b\bar{X}$

Propriedade 5: Considere o i-ésimo desvio dado por $(X_{i} −\bar{X})
$, para $i = 1,2,…,n$. A soma de todos os desvios em relação a média é nula:

$\sum{X_{i} – \bar{X}} = 0$

$\sum_{i=1}^{n} (X_{i} – \bar{X}) = \sum_{i=1}^{n} X_{i} \ – \frac{n\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}$

$= \sum_{i=1}^{n} X_{i} \ – \sum_{i=1}^{n} X_{i}$

$= 0$

Propriedade 6: O somatório do quadrado de todos os desvios é sempre um valor mínimo.

$\sum_{i=1}^{n} (X_i – \bar{X})^2 < \sum_{i=1}^{n} [X_i – (\bar{X} \pm \epsilon)]^2$

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